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UNIVERSIDAD HIPÓCRATES
ÁLGEBRA SUPERIOR
MARÍA OLGA TESTA RODRÍGUEZ
TEMAS DE ÁLGEBRA SUPRIOR
JULIO EVEREST QUEZADA GUILLEN
LAM 2
-Relaciones
*Definición
*Tipos de relaciones
*Ejemplos
-Funciones
*Tipos de funciones
*Ejemplos
*Dominio de función
Imagen de funciones
*Ejemplos del dominio y condominio
-Combinaciones
*Definición de combinaciones
*Ejemplos
-Álgebra matricial
*Definición
*Tipos de matrices
*Operaciones con matrices
*Ejemplo de operaciones con matrices
Introducción
El conocimiento del álgebra superior es indispensable para la formación matemática. Como principio, en cuanto a los temas que se desarrollan en esta materia se encuentran los conjuntos y en especial los conjuntos numéricos .
En álgebra superior se presentan los métodos generales de análisis y resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas y lineales, así como los conceptos fundamentales de la teoría de ecuaciones.
El álgebra superior es una combinación de tres disciplinas: álgebra lineal, álgebra abstracta y la tipo-logia general y algebraica.
Conceptos preliminares.
-RELACIONES-
Conjuntos: Es un grupo de elementos que comparten ciertas características, y se denota por una letra mayúscula, y sus elementos se escriben en minúsculas entre llaves.
Unión.
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A∪ B . Esto es:
Intersección
La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denota como A∩ B . Esto es:
Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir, que no tienen nada en común. Por ejemplo:
Complemento
El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se denota como 'A . Esto es:
Diferencia
La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A− B . Esto es:
FUNCIONES
Definición: Una función f de conjunto A a un de conjunto B es una regla que asigna cada elemento de A exactamente un elemento de B. El conjunto A se denomina dominio de la función y el conjunto B se denomina rango de la función es un subconjunto de
B formado por todos los valores asignados.
TIPOS DE FUNCIONES
Función constante
Dependiendo de ciertas características que tome la expresión algebraica o notación de la función f en x, tendremos distintos tipos de funciones:
Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.
Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.
Función lineal
Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.
Ejemplo:
f(x) = 2x − 1
es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, −1). Su gráfica es una recta ascendente.
Función cuadrática
Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una parábola se determina por la fórmula:
Función racional
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:
Funciones algebraicas a trozos
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
- Funciones en valor absoluto.
- Función parte entera de x.
- Función mantisa.
- Función signo.
Funciones trascendentes
La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
Funciones exponenciales
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
Funciones logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
Funciones trigonométricas
Función seno
f(x) = sen x
Función coseno
f(x) = cos x
Función tangente
f(x) = tg x
Función cosecante
f(x) = cosec x
Función secante
f(x) = sec x
Función cotangente
f(x) = cotg x
Ejemplos:
Ejemplo 1
Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos
Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.
Ejemplo 2
Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".
x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3
Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:
Ejemplo 1
Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos
| Conjunto X | Conjunto Y |
| Ángela | 55 |
| Pedro | 88 |
| Manuel | 62 |
| Adrián | 88 |
| Roberto | 90 |
Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.
Ejemplo 2
Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".
x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3
Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:
| Conjunto X | Conjunto Y | Desarrollo |
| − 2 | − 1 | f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1 |
| − 1 | 1 | f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 = 1 |
| 0 | 3 | f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3 |
| 1 | 5 | f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5 |
| 2 | 7 | f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7 |
| 3 | 9 | f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9 |
| 4 | 11 | f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11 |
Ejemplo 3
Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo".
Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio y recorrido.
Veamos:
A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).
Dominio = {1, 2, 3} Recorrido = {4, 8, 12}
Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}
Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes:
Si tenemos los conjuntos
A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}
Podemos establecer las relaciones
f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }
g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }
h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }:
Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).
Ejemplo 4
Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9}, Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada".
Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y.
Veamos:
A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y (
), pero a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.
Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo".
Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio y recorrido.
Veamos:
A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).
Dominio = {1, 2, 3} Recorrido = {4, 8, 12}
Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}
Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes:
Si tenemos los conjuntos
A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}
Podemos establecer las relaciones
f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }
g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }
h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }:
Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).
Ejemplo 4
Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9}, Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada".
Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y.
Veamos:
A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y (
), pero a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.
Dominio de una función
El dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x).
Por ejemplo la función f(x) = 3x2 – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.
En cambio, la función
tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.
Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene sentido.
En el caso de la función
, el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada.
Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente:
Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.
Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn (donde a0, a1, a2,..., an son constantes y n un entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales.
Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero.
Imagen de funciones
Se llama imagen o recorrido de una función, y se designa Im f, a todos los valores de la variable dependiente que tienen algún valor de la variable independiente que se transforma en él por la función.
Ejemplo
Identificar dominio y rango de la función
Veamos:
Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o iguales a 2.
El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo la función f.
Combinaciones
Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La notación para las combinaciones es C(n,r) que es la cantidad de combinaciones de “n” elementos seleccionados, “r” a la vez. Es igual a la cantidad de permutaciones de “n” elementos tomados “r” a la vez dividido por “r” factorial. Esto sería P(n,r)/r! en notación matemática. Ejemplo: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuantas combinaciones de cinco cartas habría? La cantidad de combinaciones posibles sería: P(9,5)/5! = (9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.
hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):
La manera más fácil de explicarlo es:
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:
Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:
Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):
Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:
Y se la llama "coeficiente binomial".
O lo puedes hacer así:
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"
Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:
¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14
La fórmula se escribe:
El dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x).
Por ejemplo la función f(x) = 3x2 – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.
En cambio, la función
tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene sentido.
En el caso de la función
, el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada.Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente:
Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.
Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn (donde a0, a1, a2,..., an son constantes y n un entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales.
Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero.
Imagen de funciones
Se llama imagen o recorrido de una función, y se designa Im f, a todos los valores de la variable dependiente que tienen algún valor de la variable independiente que se transforma en él por la función.
Ejemplo
Identificar dominio y rango de la función
Veamos:
Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o iguales a 2.
El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo la función f.
Combinaciones
Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La notación para las combinaciones es C(n,r) que es la cantidad de combinaciones de “n” elementos seleccionados, “r” a la vez. Es igual a la cantidad de permutaciones de “n” elementos tomados “r” a la vez dividido por “r” factorial. Esto sería P(n,r)/r! en notación matemática. Ejemplo: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuantas combinaciones de cinco cartas habría? La cantidad de combinaciones posibles sería: P(9,5)/5! = (9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.
hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):
- Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
- Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)
Combinaciones con repetición
En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.Combinaciones sin repetición
Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!La manera más fácil de explicarlo es:
- imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),
- después lo cambiamos para que el orden no importe.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:
| El orden importa | El orden no importa |
| 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 | 1 2 3 |
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:
3! = 3 × 2 × 1 = 6
(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):
 |
| donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden no importa) |
Ejemplo
Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:| 16! | = | 16! | = | 20,922,789,888,000 | = 560 |
| 3!(16-3)! | 3!×13! | 6×6,227,020,800 |
| 16×15×14 | = | 3360 | = 560 |
| 3×2×1 | 6 |
Permutaciones
Hay dos tipos de permutaciones:- Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
- Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.
Permutaciones con repetición
Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
Así que la fórmula es simplemente:| nr |
| donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden importa) |
Permutaciones sin repetición
En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso. | Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar? Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez. |
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:
16 × 15 × 14 = 3360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"
 | La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos:
|
| Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones. | |
16! = 20,922,789,888,000
Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...
16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...
| = 16 × 15 × 14 = 3360 | |
13 × 12 ...
|
La fórmula se escribe:
 |
| donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden importa) |
Ejemplos:
Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:| 16! | = | 16! | = | 20,922,789,888,000 | = 3360 |
| (16-3)! | 13! | 6,227,020,800 |
| 10! | = | 10! | = | 3,628,800 | = 90 |
| (10-2)! | 8! | 40,320 |
(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)
Algebra Matricial
Una matriz real es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas.
Ejemplo:
Aquí es una matriz 4×5. Mueva el ratón sobre las entradas para ver sus nombres.
Aquí es una matriz 4×5. Mueva el ratón sobre las entradas para ver sus nombres.
| A = |  | 3 |  |
A45 = 1
| |||||
| 2 | |||||||||
| -3 | |||||||||
| 1 |
Definición de orden de una matriz.
Se llama orden de una matriz al número de filas por el número de columnas de dicha matriz.
Álgebra de matrices
La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos:
Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero. Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas:
La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general.
Ejemplos
La siguiente es la matriz unidad de orden 4×4:
Forma matriz de un sistema de ecuaciones lineales
Una aplicación importante de multiplicación entre matrices es la siguiente: El sistema de ecuaciones lineales
se puede escribir como la ecuación matriz
El sistema
- Iij = 1 si i = j y Iij = 0 si i ≠ j.
| A+(B+C) = (A+B)+C | Regla asociativa de adición |
| A+B = B+A | Regla conmutativa de adición |
| A+O = O+A = A | Regla unidad de adición |
| A+( - A) = O = ( - A)+A | Regla inversa de adición |
| c(A+B) = cA+cB | Regla distributiva |
| (c+d)A = cA+dA | Regla distributiva |
| 1A = A | Unidad escalar |
| 0A = O | Cero escalar |
| A(BC) = (AB)C | Regla asociativa de multiplicación |
| AI = IA = A | Regla unidad de multiplicación |
| A(B+C) = AB + AC | Regla distributiva |
| (A+B)C = AC + BC | Regla distributiva |
| OA = AO = O | Multiplicación por matriz cero |
| (A+B)T = AT + BT | Trasposición de una suma |
| (cA)T = c(AT) | Trasposición de un producto escalar |
| (AB)T = BTAT | Trasposición de un producto matriz |
Ejemplos
La siguiente es la matriz unidad de orden 4×4:
| I = | | | ||||
| B = |
|
| AB = |
| ||||||
| BA = |
|
Forma matriz de un sistema de ecuaciones lineales
Una aplicación importante de multiplicación entre matrices es la siguiente: El sistema de ecuaciones lineales
| a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn | = | b1 |
| a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn | = | b2 |
| . . . . . . . . . . . . . . | ||
| am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn | = | bm |
- AX = B
| A = | | a11 | a12 | a13 | . . . | a1n | |
| a21 | a22 | a23 | . . . | a2n | |||
| . . . . | . . . | ||||||
| am1 | am2 | am3 | . . . | amn |
- X = [x1, x2, x3, . . . , xn]T
- B = [b1, b2, x3, . . . , bm]T
El sistema
| x | + | y | - | z | = | 4 |
| 3x | + | y | - | z | = | 6 |
| x | + | y | - | 2z | = | 4 |
| 3x | + | 2y | - | z | = | 9 |
| 1 | 1 | -1 | |  | x |  | = | | 4 | | . |
| 3 | 1 | -1 | y | 6 | ||||||||
| 1 | 1 | -2 | z | 4 | ||||||||
| 3 | 2 | -1 | 9 |
Matriz inversa
Sea A una matriz cuadrada, es decir, una matriz cuyo número de reglones es igual a su número de filas, entonces es posible a veces despejar a X en una ecuación matriz AX = B por "dividir por A." Precisamente, una matriz cuadrada A puede tener una inversa, que se escribe como A-1, con la propiedad
- AA-1 = A-1A = I.
Si A tiene una inversa decimos que A es invertible, si no, decimos que A es singular.
En el caso de A invertible, podemos despejar a X en la ecuación
- AX = B
multiplicando ambos lados de la ecuación a la izquierda por A-1, que nos da
- X = A-1B.
Operaciones con matrices
Trasposición La matriz traspuesta, AT, de la matriz A es la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Sea A una matiz m×n y B = AT, entonces B es la matriz n×m con bij = aji.
Suma, Resta
Sea A y B matrices con las mismas dimensiones, entonces sus suma, A+B, se obtiene sumando entradas correspondientes. En símbolos, (A+B)ij = Aij + Bij. En forma parecida, sus resta, A - B, obtiene restando entradas correspondientes. En símbolos, (A-B)ij = Aij - Bij.
Multiplicación escalar
Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar en este contexto), definimos el múltiple escalar, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (cA)ij = c(Aij).
Producto
Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene dimenciones m×p. La entrada (AB)ij se obtiene por multiplicar reglón i de A por columna j de B, hecho por multiplicar sus entradas correspondientes y sumar las resultados.
Ejemplos
Trasposición
| = |
|
| + | 2 |
| = |
|
|
| = |
|
Buenas tardes Julio:
ResponderBorrarTe sugiero separes temas y/o conceptos.
Espero que la elaboración de esta página, te haya ayudado a reforzar el aprendizaje obtenido en clase.
Saludos.